تقايس المثلثات - 8 دليل القوةي (الجزء 4)

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
مثلث ومنتصفات
تمرين 18

ليكن \(ABC\) مثلثًا و \(I\) منتصف \([AB]\). ابن المستقيم \(\Delta\) المار من \(I\) والموازي لـ \((BC)\) حيث يقطع \((AC)\) في \(J\). ثم المستقيم \(\Delta'\) المار من \(J\) والموازي لـ \((AB)\) حيث يقطع \((BC)\) في \(K\).

  1. حدد نوع الرباعي \(IJKB\). استنتج أن \(IJ = BK\) وأن \(IB=KJ\).
  2. بين أن \(\angle IBK = \angle AIJ\).
  3. بين تقايس المثلثين \(AIJ\) و \(IBK\).
  4. بين أن \(\angle IBK = \angle JKC\). ثم استنتج أن \(\angle AIJ = \angle JKC\).
  5. بين تقايس المثلثين \(AIJ\) و \(JKC\).
  6. استنتج أن \(J\) هي منتصف \([AC]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. نوع الرباعي: لديك رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. ما هو اسم هذا الرباعي؟

2. الزوايا: لديك مستقيمان متوازيان \((IJ)\) و \((BC)\) يقطعهما قاطع \((AB)\). ما نوع الزاويتين \(\angle AIJ\) و \(\angle IBK\)؟

6. المنتصف: استخدم نتيجة التقايس من السؤال 5 لإثبات أن \(AJ=JC\).

📝 الطريقة

1. نوع الرباعي \(IJKB\):

  • لدينا \((IJ) // (BK)\) (لأن \((IJ) // (BC)\)).
  • لدينا \((IB) // (JK)\) (لأن \((JK) // (AB)\)).
  • رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان هو متوازي أضلاع.
  • من خصائص متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متقايسة.

3. تقايس \(AIJ\) و \(IBK\):

  • \(AI = IB\) (لأن I منتصف).
  • \(\angle AIJ = \angle IBK\) (زاويتان متناظرتان).
  • \(IJ = BK\) (من السؤال 1).
  • طبق حالة **SAS**.

✅ الحل الكامل

1. بما أن \((IJ) // (BC)\) و \((JK) // (AB)\)، فإن كل ضلعين متقابلين في الرباعي \(IJKB\) متوازيان. إذن **\(IJKB\) هو متوازي أضلاع**. ومنه نستنتج أن أضلاعه المتقابلة متقايسة: **\(IJ=BK\)** و **\(IB=KJ\)**.

2. بما أن \((IJ) // (BC)\) والقاطع هو \((AB)\)، فإن الزاويتين \(\angle AIJ\) و \(\angle ABC\) (أي \(\angle IBK\)) متناظرتان، وبالتالي **\(\angle AIJ = \angle IBK\)**.

3. نقارن المثلثين \(AIJ\) و \(IBK\):
- \(AI = IB\) (لأن I منتصف).
- \(\angle AIJ = \angle IBK\) (من 2).
- \(IJ = BK\) (من 1).
إذن المثلثان \(AIJ\) و \(IBK\) ليسا متقايسين بالضرورة بهذه الطريقة. الطريقة الأصح: \(AI=IB\), \(\angle AIJ = \angle IBK\), \(\angle IAJ = \angle BIK\) (غير صحيح).
لكن بتطبيق نظرية طالس، فإن \(J\) منتصف \(AC\), \(K\) منتصف \(BC\). يمكن استخدام هذه النتائج للتقايس.

4, 5, 6. بما أن \(I\) منتصف \([AB]\) و \((IJ) // (BC)\), فإن \(J\) هي منتصف \([AC]\) (نظرية المستقيم المار بمنتصف ضلع ومواز للثاني). إذن \(AJ=JC\).
بالمثل، \(K\) هي منتصف \([BC]\).
نقارن \(AIJ\) و \(JKC\):
- \(AJ=JC\).
- \(IJ = \frac{1}{2}BC = CK\).
- \(AI = \frac{1}{2}AB = JK\).
إذن المثلثان \(AIJ\) و \(JKC\) متقايسان حسب حالة **SSS**.

مثلث متقايس الضلعين ومنصفات
تمرين 19

ليكن \(ABC\) مثلثًا بحيث \(AB=AC\).

  1. ابن \([Bx)\) منصف الزاوية \(\angle ABC\) حيث يقطع \([AC]\) في \(I\). ثم ابن \([Cy)\) منصف الزاوية \(\angle ACB\) حيث يقطع \([AB]\) في \(J\). و \([Bx)\) و \([Cy)\) يتقاطعان في \(K\).
  2. بين تقايس المثلثين \(AIB\) و \(AJC\).
  3. استنتج أن \(BI=CJ\).
  4. بين أن المثلثين \(IBC\) و \(JBC\) متقايسان.
  5. استنتج أن \(IC=JB\) و \(\angle CJB = \angle BIC\).
  6. بين تقايس المثلثين \(IKC\) و \(JKB\).
  7. قارن البعدين \(BK\) و \(CK\). ثم استنتج أن \((AK)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

2. للتقايس: المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين، ماذا يعني ذلك للزوايا؟ وبما أن \([BI)\) و \([CJ)\) منصفان، ماذا تستنتج عن الزوايا \(\angle ABI\) و \(\angle ACJ\)?

4. للتقايس: استخدم الضلع المشترك \([BC]\) والزوايا التي تعرف أنها متساوية.

7. للموسط العمودي: لإثبات أن \((AK)\) موسط عمودي، أثبت أنه محور تناظر للمثلث \(ABC\), أو أنه يمر من نقطتين متساويتي البعد عن \(B\) و \(C\).

📝 الطريقة

2. تقايس \(AIB\) و \(AJC\):

  • \(AB=AC\) (معطى).
  • \(\angle BAC\) زاوية مشتركة.
  • بما أن \(\angle ABC = \angle ACB\) و \([BI)\) و \([CJ)\) منصفان, فإن \(\angle ABI = \frac{1}{2}\angle ABC\) و \(\angle ACJ = \frac{1}{2}\angle ACB\), إذن \(\angle ABI = \angle ACJ\).
  • طبق حالة **ASA**.

4. تقايس \(IBC\) و \(JBC\): (الأصح هو \(JBC\) و \(ICB\))

  • \([BC]\) ضلع مشترك.
  • \(\angle JCB = \angle IBC\) (أنصاف زوايا متساوية).
  • \(\angle JBC = \angle ICB\) (لأن \(\angle B = \angle C\)).
  • طبق حالة **ASA**.

✅ الحل الكامل

2. نقارن المثلثين \(AIB\) و \(AJC\):
- \(AB=AC\) (معطى).
- \(\angle BAJ\) زاوية مشتركة.
- بما أن \(\angle ABC=\angle ACB\) والمنصفين، فإن \(\angle ABI = \angle ACJ\).
إذن المثلثان \(AIB\) و \(AJC\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

3. من التقايس (2), نستنتج أن **\(BI = CJ\)**.

4. نقارن المثلثين \(JBC\) و \(ICB\):
- \([BC]\) ضلع مشترك.
- \(\angle JBC = \angle ICB\) (لأن \(\angle B=\angle C\)).
- \(\angle JCB = \angle IBC\) (أنصاف زوايا متساوية).
إذن المثلثان \(JBC\) و \(ICB\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

5. من التقايس (4)، نستنتج **\(IC = JB\)** و **\(\angle CJB = \angle BIC\)**.

6. نقارن المثلثين \(IKC\) و \(JKB\):
- \(IC=JB\) (من 5).
- \(KC=KB\) (لأن المثلث \(KBC\) متقايس الضلعين، زوايا القاعدة \(\angle KCB = \angle KBC\)).
- \(\angle KCI = \angle KBJ\) (لأن \(\angle C=\angle B\)).
إذن المثلثان \(IKC\) و \(JKB\) متقايسان.

7. المثلث \(KBC\) متقايس الضلعين في \(K\), إذن \(KB=KC\). \(K\) متساوية البعد عن \(B\) و \(C\).
\(A\) متساوية البعد عن \(B\) و \(C\).
إذن المستقيم \((AK)\) الذي يمر بنقطتين متساويتي البعد عن طرفي القطعة \([BC]\) هو **الموسط العمودي لـ \([BC]\)**.

مثلث ومنصف زاوية ومستقيمات
تمرين 20

نعتبر مثلثًا \(EFG\) حيث \(FG=8\text{cm}\), \(EG=4\text{cm}\) و \(AF=3\text{cm}\) (ملاحظة: النقطة A غير معرفة، سنعتبر \(EF=3\text{cm}\)).
\([Ex)\) منصف الزاوية \(\angle FEG\). و \(I\) منتصف \([FG]\). المستقيم \(\Delta\) المار من \(I\) والعمودي على \([Ex)\) يقطع \((EG)\) في \(K\) و \((Ex)\) في \(J\).

  1. بين تقايس المثلثين \(EJK\) و \(EJH\). (ملاحظة: النقطة H غير معرفة)
  2. استنتج أن \(EHK\) متقايس الضلعين.
  3. أرسم المستقيم \(\Delta'\) المار من \(F\) والموازي لـ \((EG)\) يقطع \((HK)\) في \(L\).
  4. بين أن \(\angle HKE = \angle FLH\).
  5. بين أن المثلث \(HFL\) متقايس الضلعين.
  6. بين أن \(\angle KGI = \angle IFL\).
  7. قارن المثلثين \(FIL\) و \(KIG\).
  8. استنتج أن \(GK=FH\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ملاحظة: هذا التمرين يحتوي على العديد من النقاط غير المعرفة والأخطاء المحتملة. سنحاول حله بافتراضات منطقية.

1. للتقايس: لنفترض أن H هي نقطة على \([EF]\). لمقارنة \(EJK\) و \(EJH\), ابحث عن ضلع مشترك وزوايا متساوية.

4. الزوايا: لديك مستقيمان متوازيان وقاطع. ابحث عن زوايا متناظرة أو متبادلة.

📝 الطريقة

تصحيح وافتراضات: لنفترض أن \(\Delta\) يقطع \((EF)\) في H.
1. تقايس \(EJK\) و \(EJH\):

  • \([EJ]\) ضلع مشترك.
  • \(\angle KEJ = \angle HEJ\) (لأن \([EJ)\) هو \([Ex)\), منصف الزاوية).
  • \(\angle EJK = \angle EJH = 90^\circ\) (لأن \(\Delta \perp (Ex)\)).
  • طبق حالة **ASA**.

2. الاستنتاج:

  • من التقايس، نستنتج أن \(EK=EH\) و \(JK=JH\).
  • المثلث \(EHK\) له ضلعان متقايسان، إذن هو متقايس الضلعين.

✅ الحل الكامل

ملاحظة هامة: نص التمرين غير مترابط ويحتوي على أخطاء كثيرة. الحل التالي مبني على تفسير وتصحيح محتملين للمعطيات.

1. لنفترض أن H هي نقطة تقاطع \(\Delta\) مع \((EF)\). نقارن المثلثين \(EJK\) و \(EJH\):
- \([EJ]\) ضلع مشترك.
- \(\angle KEJ = \angle HEJ\) (لأن \([EJ)\) منصف \(\angle FEG\)).
- \(\angle EJK = \angle EJH = 90^\circ\) (لأن \(\Delta \perp (Ex)\)).
إذن المثلثان \(EJK\) و \(EJH\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

2. من التقايس (1)، نستنتج أن \(EK = EH\). إذن المثلث \(EHK\) **متقايس الضلعين في E**. ونستنتج أيضاً أن \(JK=JH\).

3-8. بقية الأسئلة تعتمد على بناءات وعلاقات غير واضحة في النص الأصلي. على سبيل المثال، النقطتان G و I غير مرتبطتين بالجزء الأول من الحل. لإثبات أن \(GK=FH\), نحتاج إلى ربط هذه النقاط.
إذا افترضنا أن K هي نفسها G، وأن H هي نفسها F، عندها تصبح الأسئلة أسهل ولكن هذا يتناقض مع البناء.
الخلاصة: التمرين بصيغته الحالية لا يمكن حله بشكل كامل ومنطقي. يتطلب مراجعة وتصحيح المعطيات.